TensorFlow Basic

本章介绍TensorFlow的基本操作。

前置知识

TensorFlow 1+1

我们可以先简单地将TensorFlow视为一个科学计算库(类似于Python下的NumPy)。

首先,我们导入TensorFlow:

import tensorflow as tf

警告

本手册基于TensorFlow的Eager Execution模式。在TensorFlow 1.X版本中, 必须 在导入TensorFlow库后调用 tf.enable_eager_execution() 函数以启用Eager Execution模式。在TensorFlow 2.0版本中,Eager Execution模式将成为默认模式,无需额外调用 tf.enable_eager_execution() 函数(不过若要关闭Eager Execution,则需调用 tf.compat.v1.disable_eager_execution() 函数)。

TensorFlow使用 张量 (Tensor)作为数据的基本单位。TensorFlow的张量在概念上等同于多维数组,我们可以使用它来描述数学中的标量(0维数组)、向量(1维数组)、矩阵(2维数组)等各种量,示例如下:

# 定义一个随机数(标量)
random_float = tf.random.uniform(shape=())

# 定义一个有2个元素的零向量
zero_vector = tf.zeros(shape=(2))

# 定义两个2×2的常量矩阵
A = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])
B = tf.constant([[5., 6.], [7., 8.]])

张量的重要属性是其形状、类型和值。可以通过张量的 shapedtype 属性和 numpy() 方法获得。例如:

# 查看矩阵A的形状、类型和值
print(A.shape)      # 输出(2, 2),即矩阵的长和宽均为2
print(A.dtype)      # 输出<dtype: 'float32'>
print(A.numpy())    # 输出[[1. 2.]
                    #      [3. 4.]]

小技巧

TensorFlow的大多数API函数会根据输入的值自动推断张量中元素的类型(一般默认为 tf.float32 )。不过你也可以通过加入 dtype 参数来自行指定类型,例如 zero_vector = tf.zeros(shape=(2), dtype=tf.int32) 将使得张量中的元素类型均为整数。张量的 numpy() 方法是将张量的值转换为一个NumPy数组。

TensorFlow里有大量的 操作 (Operation),使得我们可以将已有的张量进行运算后得到新的张量。示例如下:

C = tf.add(A, B)    # 计算矩阵A和B的和
D = tf.matmul(A, B) # 计算矩阵A和B的乘积

操作完成后, CD 的值分别为:

tf.Tensor(
[[ 6.  8.]
 [10. 12.]], shape=(2, 2), dtype=float32)
tf.Tensor(
[[19. 22.]
 [43. 50.]], shape=(2, 2), dtype=float32)

可见,我们成功使用 tf.add() 操作计算出 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix},使用 tf.matmul() 操作计算出 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\43 & 50 \end{bmatrix}

Automatic differentiation mechanism

在机器学习中,我们经常需要计算函数的导数。TensorFlow提供了强大的 自动求导机制 来计算导数。以下代码展示了如何使用 tf.GradientTape() 计算函数 y(x) = x^2x = 3 时的导数:

import tensorflow as tf

x = tf.Variable(initial_value=3.)
with tf.GradientTape() as tape:     # 在 tf.GradientTape() 的上下文内,所有计算步骤都会被记录以用于求导
    y = tf.square(x)
y_grad = tape.gradient(y, x)        # 计算y关于x的导数
print([y, y_grad])

输出:

[array([9.], dtype=float32), array([6.], dtype=float32)]

这里 x 是一个初始化为3的 变量 (Variable),使用 tf.Variable() 声明。与普通张量一样,变量同样具有形状、类型和值三种属性。使用变量需要有一个初始化过程,可以通过在 tf.Variable() 中指定 initial_value 参数来指定初始值。这里将变量 x 初始化为 3. 1。变量与普通张量的一个重要区别是其默认能够被TensorFlow的自动求导机制所求导,因此往往被用于定义机器学习模型的参数。

tf.GradientTape() 是一个自动求导的记录器,在其中的变量和计算步骤都会被自动记录。在上面的示例中,变量 x 和计算步骤 y = tf.square(x) 被自动记录,因此可以通过 y_grad = tape.gradient(y, x) 求张量 y 对变量 x 的导数。

在机器学习中,更加常见的是对多元函数求偏导数,以及对向量或矩阵的求导。这些对于TensorFlow也不在话下。以下代码展示了如何使用 tf.GradientTape() 计算函数 L(w, b) = \|Xw + b - y\|^2w = (1, 2)^T, b = 1 时分别对 w, b 的偏导数。其中 X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},  y = \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}

X = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])
y = tf.constant([[1.], [2.]])
w = tf.Variable(initial_value=[[1.], [2.]])
b = tf.Variable(initial_value=1.)
with tf.GradientTape() as tape:
    L = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.square(tf.matmul(X, w) + b - y))
w_grad, b_grad = tape.gradient(L, [w, b])        # 计算L(w, b)关于w, b的偏导数
print([L.numpy(), w_grad.numpy(), b_grad.numpy()])

输出:

[62.5, array([[35.],
   [50.]], dtype=float32), array([15.], dtype=float32)]

这里, tf.square() 操作代表对输入张量的每一个元素求平方,不改变张量形状。 tf.reduce_sum() 操作代表对输入张量的所有元素求和,输出一个形状为空的纯量张量(可以通过 axis 参数来指定求和的维度,不指定则默认对所有元素求和)。TensorFlow中有大量的张量操作API,包括数学运算、张量形状操作(如 tf.reshape())、切片和连接(如 tf.concat())等多种类型,可以通过查阅TensorFlow的官方API文档 2 来进一步了解。

从输出可见,TensorFlow帮助我们计算出了

L((1, 2)^T, 1) &= 62.5

\frac{\partial L(w, b)}{\partial w} |_{w = (1, 2)^T, b = 1} &= \begin{bmatrix} 35 \\ 50\end{bmatrix}

\frac{\partial L(w, b)}{\partial b} |_{w = (1, 2)^T, b = 1} &= 15

A basic example: Linear regression

基础知识和原理

考虑一个实际问题,某城市在2013年-2017年的房价如下表所示:

年份

2013

2014

2015

2016

2017

房价

12000

14000

15000

16500

17500

现在,我们希望通过对该数据进行线性回归,即使用线性模型 y = ax + b 来拟合上述数据,此处 ab 是待求的参数。

首先,我们定义数据,进行基本的归一化操作。

import numpy as np

X_raw = np.array([2013, 2014, 2015, 2016, 2017], dtype=np.float32)
y_raw = np.array([12000, 14000, 15000, 16500, 17500], dtype=np.float32)

X = (X_raw - X_raw.min()) / (X_raw.max() - X_raw.min())
y = (y_raw - y_raw.min()) / (y_raw.max() - y_raw.min())

接下来,我们使用梯度下降方法来求线性模型中两个参数 ab 的值 3

回顾机器学习的基础知识,对于多元函数 f(x) 求局部极小值,梯度下降 的过程如下:

  • 初始化自变量为 x_0k=0

  • 迭代进行下列步骤直到满足收敛条件:

    • 求函数 f(x) 关于自变量的梯度 \nabla f(x_k)

    • 更新自变量: x_{k+1} = x_{k} - \gamma \nabla f(x_k) 。这里 \gamma 是学习率(也就是梯度下降一次迈出的“步子”大小)

    • k \leftarrow k+1

接下来,我们考虑如何使用程序来实现梯度下降方法,求得线性回归的解 \min_{a, b} L(a, b) = \sum_{i=1}^n(ax_i + b - y_i)^2

Linear regression under numPy

机器学习模型的实现并不是TensorFlow的专利。事实上,对于简单的模型,即使使用常规的科学计算库或者工具也可以求解。在这里,我们使用NumPy这一通用的科学计算库来实现梯度下降方法。NumPy提供了多维数组支持,可以表示向量、矩阵以及更高维的张量。同时,也提供了大量支持在多维数组上进行操作的函数(比如下面的 np.dot() 是求内积, np.sum() 是求和)。在这方面,NumPy和MATLAB比较类似。在以下代码中,我们手工求损失函数关于参数 ab 的偏导数 4,并使用梯度下降法反复迭代,最终获得 ab 的值。

a, b = 0, 0

num_epoch = 10000
learning_rate = 1e-3
for e in range(num_epoch):
    # 手动计算损失函数关于自变量(模型参数)的梯度
    y_pred = a * X + b
    grad_a, grad_b = (y_pred - y).dot(X), (y_pred - y).sum()

    # 更新参数
    a, b = a - learning_rate * grad_a, b - learning_rate * grad_b

print(a, b)

然而,你或许已经可以注意到,使用常规的科学计算库实现机器学习模型有两个痛点:

  • 经常需要手工求函数关于参数的偏导数。如果是简单的函数或许还好,但一旦函数的形式变得复杂(尤其是深度学习模型),手工求导的过程将变得非常痛苦,甚至不可行。

  • 经常需要手工根据求导的结果更新参数。这里使用了最基础的梯度下降方法,因此参数的更新还较为容易。但如果使用更加复杂的参数更新方法(例如Adam或者Adagrad),这个更新过程的编写同样会非常繁杂。

而TensorFlow等深度学习框架的出现很大程度上解决了这些痛点,为机器学习模型的实现带来了很大的便利。

Linear regression under TensorFlow

TensorFlow的 Eager Execution(动态图)模式 5 与上述NumPy的运行方式十分类似,然而提供了更快速的运算(GPU支持)、自动求导、优化器等一系列对深度学习非常重要的功能。以下展示了如何使用TensorFlow计算线性回归。可以注意到,程序的结构和前述NumPy的实现非常类似。这里,TensorFlow帮助我们做了两件重要的工作:

  • 使用 tape.gradient(ys, xs) 自动计算梯度;

  • 使用 optimizer.apply_gradients(grads_and_vars) 自动更新模型参数。

X = tf.constant(X)
y = tf.constant(y)

a = tf.Variable(initial_value=0.)
b = tf.Variable(initial_value=0.)
variables = [a, b]

num_epoch = 10000
optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=1e-3)
for e in range(num_epoch):
    # 使用tf.GradientTape()记录损失函数的梯度信息
    with tf.GradientTape() as tape:
        y_pred = a * X + b
        loss = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.square(y_pred - y))
    # TensorFlow自动计算损失函数关于自变量(模型参数)的梯度
    grads = tape.gradient(loss, variables)
    # TensorFlow自动根据梯度更新参数
    optimizer.apply_gradients(grads_and_vars=zip(grads, variables))

print(a, b)

在这里,我们使用了前文的方式计算了损失函数关于参数的偏导数。同时,使用 tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=1e-3) 声明了一个梯度下降 优化器 (Optimizer),其学习率为1e-3。优化器可以帮助我们根据计算出的求导结果更新模型参数,从而最小化某个特定的损失函数,具体使用方式是调用其 apply_gradients() 方法。

注意到这里,更新模型参数的方法 optimizer.apply_gradients() 需要提供参数 grads_and_vars,即待更新的变量(如上述代码中的 variables )及损失函数关于这些变量的偏导数(如上述代码中的 grads )。具体而言,这里需要传入一个Python列表(List),列表中的每个元素是一个 (变量的偏导数,变量) 对。比如这里是 [(grad_a, a), (grad_b, b)] 。我们通过 grads = tape.gradient(loss, variables) 求出tape中记录的 loss 关于 variables = [a, b] 中每个变量的偏导数,也就是 grads = [grad_a, grad_b],再使用Python的 zip() 函数将 grads = [grad_a, grad_b]variables = [a, b] 拼装在一起,就可以组合出所需的参数了。

Python的 zip() 函数

zip() 函数是Python的内置函数。用自然语言描述这个函数的功能很绕口,但如果举个例子就很容易理解了:如果 a = [1, 3, 5]b = [2, 4, 6],那么 zip(a, b) = [(1, 2), (3, 4), ..., (5, 6)] 。即“将可迭代的对象作为参数,将对象中对应的元素打包成一个个元组,然后返回由这些元组组成的列表”。在Python 3中, zip() 函数返回的是一个对象,需要调用 list() 来将对象转换成列表。

../../_images/zip.jpg

Python的 zip() 函数图示

在实际应用中,我们编写的模型往往比这里一行就能写完的线性模型 y_pred = a * X + b (模型参数为 variables = [a, b] )要复杂得多。所以,我们往往会编写并实例化一个模型类 model = Model() ,然后使用 y_pred = model(X) 调用模型,使用 model.variables 获取模型参数。关于模型类的编写方式可见 “TensorFlow模型”一章

1

Python中可以使用整数后加小数点表示将该整数定义为浮点数类型。例如 3. 代表浮点数 3.0

2

主要可以参考 Tensor TransformationsMath 两个页面。可以注意到,TensorFlow的张量操作API在形式上和Python下流行的科学计算库NumPy非常类似,如果对后者有所了解的话可以快速上手。

3

其实线性回归是有解析解的。这里使用梯度下降方法只是为了展示TensorFlow的运作方式。

4

此处的损失函数为均方差 L(x) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y_i)^2。其关于参数 ab 的偏导数为 \frac{\partial L}{\partial a} = \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y) x_i\frac{\partial L}{\partial b} = \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y)

5

与Eager Execution相对的是Graph Execution(静态图)模式,即TensorFlow在2018年3月的1.8版本发布之前所主要使用的模式。本手册以面向快速迭代开发的动态模式为主,但会在附录中介绍静态图模式的基本使用,供需要的读者查阅。